Boats Streams and Pipes / नाव, प्रवाह आणि नळ-टाकीची गणिते

• 'प्रवाहाची दिशा' (Downstream) विरुद्ध 'नाव-रेल्वे दिशा' ट्रॅप: सामान्य रेल्वे गणितात दोन गाड्या परस्परांच्या विरुद्ध आल्यास वेगाची बेरीज होते. परंतु, नावेच्या गणितात जेव्हा नाव प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने (Upstream) जाते, तेव्हा पाण्याचा प्रवाह नावेला मागे ढकलतो, म्हणून येथे वेगाची वजाबाकी (B - S) होते. प्रवाहाच्या दिशेने (Downstream) जाताना वेगाची बेरीज (B + S) होते.
• 'शांत पाण्यातील वेग' (Speed in Still Water) काढण्याचा संभ्रम: प्रश्नात प्रवाहाच्या दिशेतील वेग (u) आणि प्रवाहाच्या विरुद्धचा वेग (v) दिलेला असतो. शांत पाण्यात नावेचा मूळ वेग काढण्यासाठी या दोघांच्या बेरजेची निम्मी (u + v)/२ करावी लागते, केवळ थेट वजाबाकी केल्यास उत्तर चुकते.
• नळ-टाकीमधील 'ऋण कार्य' (Negative Work Concept): टाकी भरणारा नळ (Inlet Pipe) धन कार्य (+) करतो, तर टाकी रिकामी करणारा किंवा गळती असणारा नळ (Outlet/Leakage) ऋण कार्य (-) करतो. एकूण वेळ काढताना रिकामी करणाऱ्या नळाची कार्यक्षमता वजा करणे तांत्रिकदृष्ट्या बंधनकारक आहे.
• 'एकाआड एक नळ सुरू ठेवणे' (Alternate Pipe Trap): दोन नळ प्रति तास एकाआड एक सुरू ठेवल्यास गणिताची पायरी २ तासांच्या चक्रावर आधारित (2-Hour Cycle Matrix) सोडवावी लागते, थेट १ तासाचे सूत्र तिथे चालत नाही.

• १) प्रवाहाच्या दिशेने वेग (Downstream Speed - u): B + S (नावेचा वेग + प्रवाहाचा वेग)
• २) प्रवाहाच्या विरुद्ध वेग (Upstream Speed - v): B - S (नावेचा वेग - प्रवाहाचा वेग)
• ३) शांत पाण्यात नावेचा वेग (Boat Speed - B): (u + v) ÷ २
• ४) पाण्याचा किंवा प्रवाहाचा वेग (Stream Speed - S): (u - v) ÷ २
• ५) नळ-टाकी एकत्रित वेळ (भरणारा + रिकामी करणारा): (x × y) ÷ (y - x) (येथे y हा रिकामी करणाऱ्या नळाचा वेळ आहे).

📌 Type 1: नावेचा प्रवाहानुकूल आणि प्रवाहाविरुद्ध वेग शोधणे (Boat & Stream Velocity Vector)

उदा. १ (शांत पाण्यातील वेग आणि प्रवाहाचा वेग काढणे)
प्रश्न: एक नाव प्रवाहाच्या दिशेने (Downstream) ताशी २४ किमी वेगाने जाते आणि प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने (Upstream) ताशी १६ किमी वेगाने परत येते. तर शांत पाण्यात नावेचा स्वतःचा वेग किती किमी/तास असेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. येथे प्रवाहाच्या दिशेतील वेग u = २४ किमी/तास आणि प्रवाहाच्या विरुद्धचा वेग v = १६ किमी/तास.
२. शांत पाण्यात नावेचा वेग (B) काढण्याचे तांत्रिक सूत्र: B = (u + v) ÷ २.
३. सूत्रामध्ये किमती मांडू: B = (२४ + १६) ÷ २ ➡️ ४० ÷ २ = २० किमी/तास.
उत्तर: २० किमी/तास

---

उदा. २ (केवळ प्रवाहाचा / पाण्याचा वेग निश्चित करणे)
प्रश्न: वरील गणितातील डेटाचा (u = २४, v = १६) वापर करून, नदीच्या पाण्याचा किंवा प्रवाहाचा वेग (Speed of Stream) किती किमी/तास असेल ते शोधा?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. प्रवाहाचा वेग (S) काढण्याचे प्रमाणित सूत्र: S = (u - v) ÷ २.
२. किंमती सूत्रामध्ये मांडू: S = (२४ - १६) ÷ २ ➡️ ८ ÷ २ = ४ किमी/तास.
३. (ताडताळा: नावेचा वेग २० + प्रवाहाचा वेग ४ = २४ प्रवाहाच्या दिशेने; आणि २० - ४ = १६ प्रवाहाच्या विरुद्ध. मांडणी शंभर टक्के अचूक आहे).
उत्तर: ४ किमी/तास

• नियम १ (भरणारा नळ - Inlet Pipe): जो नळ टाकीमध्ये पाणी भरतो, त्याचे एका तासाचे कार्य नेहमी धन (+) मानावे.
• नियम २ (रिकामी करणारा नळ - Outlet/Leakage): जो नळ किंवा गळती टाकीतील पाणी बाहेर काढते, त्याचे कार्य नेहमी ऋण (-) मानावे.
• एकूण क्षमता (Total Capacity): नळांना लागणाऱ्या वैयक्तिक वेळेचा जो लसावि (LCM) येतो, तीच त्या टाकीची एकूण साठवणूक क्षमता (Total Units) मानली जाते.

📌 Type 2: नळ आणि टाकी - एकत्रित भरणे आणि गळतीचे विस्थापन (Pipes & Cisterns Baseline Models)

उदा. १ (दोन नळांनी एकत्रित टाकी भरणे)
प्रश्न: नळ 'A' एक रिकामी टाकी १२ तासांत पूर्ण भरतो आणि नळ 'B' तीच टाकी १५ तासांत पूर्ण भरतो. जर दोन्ही नळ एकाच वेळी सुरू केले, तर ती रिकामी टाकी पूर्ण भरण्यासाठी एकूण किती वेळ लागेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. लसावि पद्धत वापरू: १२ आणि १५ चा लसावि = ६० युनिट (ही टाकीची एकूण क्षमता झाली).
२. दोन्ही नळांची वैयक्तिक कार्यक्षमता (प्रति तास कार्य) काढू:
   - नळ A चे कार्य = ६० ÷ १२ = +५ युनिट/तास
   - नळ B चे कार्य = ६० ÷ १५ = +४ युनिट/तास
३. दोन्ही नळ एकत्र सुरू केल्यास एका तासाचे एकूण कार्य = +५ + ४ = +९ युनिट/तास.
४. टाकी पूर्ण भरण्यासाठी लागणारा एकूण वेळ = एकूण क्षमता ÷ एकत्रित कार्यक्षमता ➡️ ६० ÷ ९ = ६ पूर्णांक २/३ तास (किंवा ६ तास ४० मिनिटे).
उत्तर: ६ तास ४० मिनिटे

---

उदा. २ (टाकी भरणे आणि गळती असणारे ऋण कार्य / Leakage Model)
प्रश्न: नळ 'A' एक टाकी १० तासांत भरू शकतो. परंतु टाकीच्या तळाशी गळती (Leakage) असल्यामुळे ती टाकी भरण्यासाठी १२ तास लागतात. जर ती टाकी पूर्ण भरलेली असेल, तर केवळ त्या गळतीमुळे ती टाकी किती तासांत पूर्ण रिकामी होईल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. १० आणि १२ चा लसावि काढू = ६० युनिट (टाकीची एकूण क्षमता).
२. वैयक्तिक कार्यक्षमता मोजू:
   - केवळ नळ A चे कार्य = ६० ÷ १० = +६ युनिट/तास
   - नळ A आणि गळती (L) यांचे एकत्रित कार्य = ६० ÷ १२ = +५ युनिट/तास
३. गळतीचे वैयक्तिक ऋण कार्य काढू: +६ + L = +५ ➡️ L = ५ - ६ = -१ युनिट/तास (ऋण चिन्ह गळती दर्शवते).
४. गळतीमुळे पूर्ण टाकी रिकामी होण्याचा वेळ = ६० युनिट ÷ १ युनिट/तास = ६० तास.
उत्तर: ६० तास

• A) जाताना प्रवाहाच्या दिशेने व येताना विरुद्ध (Round Trip Matrix): जाताना वेग नेहमी जास्त (B + S) असतो आणि येताना प्रवाहाचा रोध असल्यामुळे वेग कमी (B - S) असतो.
• B) वेळेचे गुणोत्तर नियम: जर अंतर समान असेल, तर प्रवाहाच्या विरुद्ध जाण्यासाठी लागणारा वेळ (t_up) हा नेहमी प्रवाहाच्या दिशेने जाणाऱ्या वेळेपेक्षा (t_down) अधिकच असतो.
• शॉर्टकट अंतर सूत्र (Direct Distance Formula): जर एकूण वेळ 'T' माहित असेल, तर एका बाजूचे अंतर D = [ T × (B² - S²) ] ÷ २B या एकाच सूत्राने सहज काढता येते.

📌 Type 3: नाव आणि प्रवाहाचे अंतर-वेळ विस्थापन (Advanced Boat & Stream Word Puzzles)

उदा. १ (एकूण वेळेवरून एका बाजूचे अंतर काढणे)
प्रश्न: शांत पाण्यात एका नावेचा वेग ताशी ९ किमी असून नदीच्या प्रवाहाचा वेग ताशी ३ किमी आहे. एक नाविक नदीतून एका ठराविक अंतरावर जाऊन पुन्हा मूळ ठिकाणी एकूण ३ तासांत परत येतो. तर ते अंतर किती किलोमीटर असेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. प्रथम दोन्ही बाजूंचे गती वेक्टर निश्चित करू:
   - प्रवाहाच्या दिशेने वेग (u) = B + S = ९ + ३ = १२ किमी/तास.
   - प्रवाहाच्या विरुद्ध वेग (v) = B - S = ९ - ३ = ६ किमी/तास.
२. समजा एका बाजूचे अंतर 'D' किमी आहे. वेळ = अंतर ÷ वेग.
३. एकूण वेळ समीकरण मांडू: (D ÷ १२) + (D ÷ ६) = ३ तास.
४. छेद समान करू (६ ला २ ने गुणू): (D + २D) ÷ १२ = ३ ➡️ ३D ÷ १२ = ३ ➡️ ३D = ३६ ➡️ D = १२ किमी.
उत्तर: १२ किलोमीटर

---

उदा. २ (वेळेतील पटीचा व्यस्त चलन ट्रॅप / Time Multiplier Model)
प्रश्न: शांत पाण्यात एका बोटीचा वेग ताशी १५ किमी आहे. तिला नदीत प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने जाण्यासाठी लागणारा वेळ हा प्रवाहाच्या दिशेने जाणाऱ्या वेळेच्या दुप्पट (२ पट) आहे. तर नदीच्या प्रवाहाचा वेग किती किमी/तास असेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. समजा प्रवाहाचा वेग = S किमी/तास.
   - प्रवाहाच्या दिशेने वेग (u) = १५ + S | प्रवाहाच्या विरुद्ध वेग (v) = १५ - S.
२. व्यस्त चलन नियमानुसार, जर अंतर समान असेल तर वेगाचे गुणोत्तर हे वेळेच्या गुणोत्तराच्या उलटे असते. वेळेचे गुणोत्तर (विरुद्ध : दिशा) = २ : १ आहे, म्हणून वेगाचे गुणोत्तर (दिशा : विरुद्ध) = २ : १ होईल.
३. समीकरण मांडू: (१५ + S) ÷ (१५ - S) = २ ÷ १.
४. तिरपा गुणाकार करू: १५ + S = २ × (१५ - S) ➡️ १५ + S = ३० - २S.
५. चलनाचे सरलीकरण करू: S + २S = ३० - १५ ➡️ ३S = १५ ➡️ S = ५ किमी/तास.
उत्तर: ५ किमी/तास

📌 Type 4: नळ-टाकी - एकाआड एक तास आणि प्रगत चक्राकार पद्धत (Alternate Hour Openings)

उदा. १ (एकाआड एक तास नळ सुरू ठेवण्याचा चक्राकार ट्रॅप)
प्रश्न: नळ 'A' एक रिकामी टाकी २० तासांत भरतो आणि नळ 'B' ती ३० तासांत भरतो. जर पहिल्या तासाला केवळ नळ A आणि दुसऱ्या तासाला केवळ नळ B याप्रमाणे एकाआड एक तास (Alternately) नळ सुरू ठेवले, तर ती संपूर्ण टाकी किती तासांत पूर्ण भरेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. २० आणि ३० का लसावि = ६० युनिट (टाकीची एकूण क्षमता).
२. वैयक्तिक कार्यक्षमता: A = ६० ÷ २० = +३ युनिट/तास | B = ६० ÷ ३० = +२ युनिट/तास.
३. २ तासांच्या चक्राची (१ सायकल) आकडेमोड करू:
   - तास १ (A) ➡️ ३ युनिट | तास २ (B) ➡️ २ युनिट ➡️ २ तासात एकूण ५ युनिट कार्य होते.
४. एकूण ६० युनिट भरण्यासाठी लागणाऱ्या सायकल = ६० ÷ ५ = १२ सायकल.
५. एकूण वेळ काढू: १ सायकल म्हणजे २ तास, म्हणून एकूण वेळ = १२ × २ = २४ तास.
उत्तर: २४ तास

---

उदा. २ (ठराविक वेळेनंतर एक नळ बंद करणे / Out of Sync Closures)
प्रश्न: दोन नळ A आणि B अनुक्रमे १२ मिनिटांत आणि १५ मिनिटांत एक टाकी भरू शकतात. दोन्ही नळ एकत्र सुरू केले, परंतु ३ मिनिटांनंतर नळ A बंद करण्यात आला. तर उर्वरित टाकी एकट्या B ला भरण्यासाठी आणखी किती मिनिटे लागतील?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. १२ आणि १५ चा लसावि = ६० युनिट. कार्यक्षमता: A = +५ युनिट/मिनिट, B = +४ युनिट/मिनिट.
२. दोन्ही नळांचे १ मिनिटाचे एकत्रित कार्य = ५ + ४ = ९ युनिट/मिनिट.
३. नळ बंद होण्यापूर्वी ३ मिनिटांत झालेले एकूण कार्य = ३ × ९ = २७ युनिट.
४. शिल्लक राहिलेले रिकामे कार्य = ६० - २७ = ३३ युनिट.
५. आता A बंद आहे, म्हणून उरलेले ३३ युनिट एकटा B पूर्ण करेल ➡️ वेळ = ३३ ÷ ४ = ८.२५ मिनिटे (किंवा ८ मिनिटे १५ सेकंद).
उत्तर: ८ मिनिटे १५ सेकंद

📌 Type 5: नळाचा व्यास आणि कार्यक्षमतेचा प्रगत वर्गीकरण नियम (Pipe Diameter & Cross-Sectional Flow Efficiency)

उदा. १ (व्यासाच्या वर्गावर आधारित पाणी प्रवाह / Diameter Squared Law)
प्रश्न: २ सेमी व्यास (Diameter) असणारा एक नळ एक टाकी ६० मिनिटांत पूर्ण भरू शकतो. तर गतीशास्त्राच्या नियमांनुसार, ४ सेमी व्यास असणारा दुसरा नळ तीच टाकी किती मिनिटांत पूर्ण भरेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. जल गतीशास्त्राचा मुख्य नियम: नळातून वाहणाऱ्या पाण्याचा प्रवाह (कार्यक्षमता) हा नेहमी त्या नळाच्या व्यासाच्या वर्गाच्या (Diameter²) थेट प्रमाणात असतो.
   - नळ १ ची कार्यक्षमता (E₁) ∝ (२)² = ४ युनिट
   - नळ २ ची कार्यक्षमता (E₂) ∝ (४)² = १६ युनिट
२. आता कार्यक्षमता आणि लागणारा वेळ यांच्यातील व्यस्त चलन तपासून एकूण टाकीचे कार्य काढू:
   - एकूण टाकीचे कार्य = कार्यक्षमता × वेळ ➡️ ४ युनिट × ६० मिनिटे = २४० युनिट.
३. ४ सेमी व्यासाच्या नळाला लागणारा वेळ = एकूण कार्य ÷ त्याची वैयक्तिक कार्यक्षमता (१६) ➡️ २४० ÷ १६ = १५ मिनिटे.
उत्तर: १५ मिनिटे