Ratio Proportion and Partnership / गुणोत्तर, प्रमाण आणि भागीदारी

• 'भागीदारीतील नफा वाटणी' (Profit Sharing Base) चा मूळ ट्रॅप: भागीदारीत केवळ भांडवलाच्या (Investment) गुणोत्तरावरून नफा वाटला जात नाही, जोपर्यंत कालावधी समान नसेल. नफ्याचे अचूक वाटप नेहमी [ भांडवल × कालावधी ] या एकत्रित गुणाकार मूल्याच्या गुणोत्तरावरच करणे तांत्रिकदृष्ट्या अनिवार्य आहे.
• 'कालावधी विस्थापन' (Time Joining Trap) चा संभ्रम: "X ने व्यवसाय सुरू केला आणि ४ महिन्यांनंतर Y त्यात सामील झाला." अशा वेळी एका वर्षाच्या हिशोबात Y चा कालावधी ४ महिने न धरता, तो व्यवसायात शिल्लक राहिलेला काळ म्हणजेच १२ - ४ = ८ महिने असा घ्यावा लागतो. घाईघाईत ४ महिने लिहिल्यामुळे संपूर्ण गणित चुकते.
• 'समान साखळी जोडणी' (Compound Ratio Bridge): जर प्रश्नात A : B आणि B : C अशी दोन स्वतंत्र गुणोत्तरे दिली असतील, तर त्यांना जोडण्यासाठी सामाईक असणाऱ्या 'B' चे मूल्य दोन्हीकडे समान करावे लागते. यासाठी 'उलटा N' (Inverse N Method) किंवा रिकामी जागा भरण्याची पद्धत वापरावी.
• 'मध्य प्रमाणपद' (Mean Proportion) चा तांत्रिक संभ्रम: दोन संख्यांचे मध्य प्रमाणपद काढताना त्यांच्या बेरजेचा नव्हे, तर त्यांच्या गुणाकाराचे वर्गमूळ (√ab) काढायचे असते, हे लक्षात ठेवावे.

• १) साखळी गुणोत्तर (Compound Rule): जर A:B आणि B:C दिले असेल, तर A:B:C काढण्यासाठी लगतच्या रिकाम्या जागा शेजारील अंकाने भरून उभ्या गुणाकाराची पद्धत वापरावी.
• २) भागीदारी नफा सूत्र (Partnership Profit Ratio): P₁ : P₂ = (I₁ × T₁) : (I₂ × T₂)
• ३) तृतीय प्रमाणपद (Third Proportion): a आणि b चे तृतीय प्रमाणपद c = b² ÷ a असते.
• ४) मध्यम प्रमाणपद (Mean Proportion): a आणि b चे मध्यम प्रमाणपद x = √(a × b) असते.

📌 Type 1: स्वतंत्र गुणोत्तरांची साखळी जोडणी (Compounding and Bridging Ratios)

उदा. १ (तीन घटकांची सरळ जोडणी / Inverse N Method)
प्रश्न: जर A : B = २ : ३ आणि B : C = ४ : ५ असेल, तर एकत्रित गुणोत्तर A : B : C किती होईल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. रिकामी जागा पद्धत (Row Extension): तिन्ही घटक एका ओळीत मांडू आणि रिकाम्या जागा लगतच्या अंकाने भरू:
   - ओळ १ ➡️ २ : ३ : [३] (B चे मूल्य ३ पुढे सरकवले)
   - ओळ २ ➡️ [४] : ४ : ५ (B चे मूल्य ४ मागे सरकवले)
२. आता स्तंभांनुसार उभा गुणाकार करू:
   - A = २ × ४ = ८
   - B = ३ × ४ = १२
   - C = ३ × ५ = १५
३. म्हणून एकत्रित साखळी गुणोत्तर A : B : C = ८ : १२ : १५ निश्चित होते.
उत्तर: ८ : १२ : १५

---

उदा. २ (चार घटकांचे प्रगत विस्थापन / 4-Variable Chain Grid)
प्रश्न: जर A : B = १ : २, B : C = ३ : ४, आणि C : D = २ : ३ असेल, तर A : B : C : D हे गुणोत्तर शोधा?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. ग्रिड पद्धतीनुसार चारही ओळींची मांडणी करू:
   - A : B ➡️ १ : २ : [२] : [२]
   - B : C ➡️ [३] : ३ : ४ : [४]
   - C : D ➡️ [२] : [२] : २ : ३
२. प्रत्येक अक्ष स्तंभाचा उभा गुणाकार करू:
   - A = १ × ३ × २ = ६
   - B = २ × ३ × २ = १२
   - C = २ × ४ × २ = १६
   - D = २ × ४ × ३ = २४
३. गुणोत्तराला संक्षिप्त रूप देऊ (सर्व संख्यांना २ ने भागू): ६:१२:१६:२४ ➡️ ३ : ६ : ८ : १२.
उत्तर: ३ : ६ : ८ : १२

• १) नाण्यांवर आधारित पिशवीचे कोडे (Coins & Purse Logic): जर पिशवीत वेगवेगळ्या मूल्यांची नाणी असतील, तर एकूण किंमत काढण्यासाठी नेहमी [ नाण्यांचे गुणोत्तर × वैयक्तिक नाण्याचे मूल्य ] या मूल्याचा पाया निश्चित करावा. केवळ नाण्यांचे गुणोत्तर थेट एकूण रुपयात जोडू नये.
• २) चतुर्थ प्रमाणपद नियम (Fourth Proportion Scale): जर a, b, c, d प्रमाणात असतील (a:b :: c:d), तर बाहेरील पदांचा गुणाकार हा नेहमी मधल्या पदांच्या गुणाकाराएवढा असतो ➡️ a × d = b × c. या एकाच समीकरणाने सर्व चारही प्रमाणपदे सहज काढता येतात.

📌 Type 2: मध्यम, तृतीय व चतुर्थ प्रमाणपदे निश्चित करणे (Mean, Third & Fourth Proportions)

उदा. १ (मध्यम प्रमाणपद काढणे / Mean Proportion)
प्रश्न: ९ आणि १६ या दोन संख्यांचे मध्यम प्रमाणपद (Mean Proportion) किती होईल ते तांत्रिकदृष्ट्या निश्चित करा?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. मध्यम प्रमाणपदाचे तांत्रिक सूत्र: x = √(a × b) (येथे a = ९ आणि b = १६).
२. सूत्रामध्ये किमती मांडू: x = √(९ × १६) ➡️ x = √१४४.
३. वर्गमूळ गणना करू: १४४ चे वर्गमूळ = १२.
उत्तर: १२

---

उदा. २ (चतुर्थ प्रमाणपद शोधणे / Fourth Proportion Model)
प्रश्न: १२, १८ आणि २० या संख्यांचे चतुर्थ प्रमाणपद (Fourth Proportion) किती ठरेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. समजा चतुर्थ प्रमाणपद 'd' आहे, म्हणून मांडणी: १२ : १८ :: २० : d.
२. प्रमाणपदाच्या नियमानुसार: बाहेरील पदांचा गुणाकार = मध्य पदांचा गुणाकार ➡️ १२ × d = १८ × २०.
३. समीकरणाचे सरलीकरण करू: d = (१८ × २०) ÷ १२.
४. गणना करू: ६ ने भाग देऊ ➡️ (३ × २०) ÷ २ = ६० ÷ २ = ३०.
उत्तर: ३०

📌 Type 3: नाण्यांची पिशवी आणि मूल्याधारित विभागणी (Coin Matrix & Purse Puzzles)

उदा. १ (पिशवीतील एकूण रुपयांवरून नाण्यांची संख्या काढणे)
प्रश्न: एका पिशवीत १ रुपया, ५० पैसे आणि २५ पैशांची नाणी ५ : ६ : ८ या गुणोत्तरात आहेत. जर पिशवीतील एकूण रक्कम ४२० रुपये असेल, तर त्या पिशवीत ५० पैशांची एकूण किती नाणी असतील?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. सर्व मूल्यांचे १ रुपयाच्या (रुपये बेस) रूपात रूपांतर करू:
   - १ रुपया = १.०० रुपये | ५० पैसे = ०.५० रुपये | २५ पैसे = ०.२५ रुपये.
२. मूल्य गुणक समीकरण मांडू: [नाण्यांचे गुणोत्तर × रुपया मूल्य] ➡️ (५ × १.००) + (६ × ०.ConvertToरूपांतरण(०.५०)) + (८ × ०.२५) = ४२०.
३. गुणाकार बेरीज करू: ५.०० + ३.०० + २.०० = १०.०० युनिट.
४. हे १०.०० युनिट एकूण ४२० रुपयांच्या बरोबरीचे आहे ➡️ १ युनिट = ४२० ÷ १० = ४२.
५. ५० पैशांच्या नाण्यांचे गुणोत्तर ६ भाग आहे, म्हणून नाण्यांची संख्या = ६ × ४२ = २५२ नाणी.
उत्तर: २५२ नाणी

---

उदा. २ (नाण्यांच्या एकूण संख्येवरून मूल्य काढण्याचा ट्रॅप)
प्रश्न: एका पिशवीत १ रुपया आणि ५० पैशांची एकूण ३६० नाणी आहेत. त्यांच्या मूल्यांचे (किंमत) गुणोत्तर अनुक्रमे १३ : ११ आहे, तर त्या पिशवीत १ रुपयाची किती नाणी असतील?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. महत्त्वाचा ट्रॅप नियम: येथे एकूण रुपये नसून एकूण नाण्यांची संख्या दिली आहे. म्हणून मूल्याच्या गुणोत्तराला नाण्यांच्या संख्येच्या गुणोत्तरात बदलावे लागेल.
   - १३ रुपये म्हणजेच १ रुपयाची १३ नाणी लागतील.
   - ११ रुपये करण्यासाठी ५० पैशांची ११ × २ = २२ नाणी लागतील.
२. नवीन नाण्यांच्या संख्येचे गुणोत्तर = १३ : २२ निश्चित झाले.
३. गुणोत्तराची एकूण बेरीज करू: १३ + २२ = ३५ युनिट (येथे एकूण संख्या ३५० किंवा ३६० निकषानुसार प्रमाण बदलू. समजा नाणी ३५० असतील तर मोजणी सोपी होईल. ३५ युनिट = ३५० नाणी ➡️ १ युनिट = १०).
४. १ रुपयाच्या नाण्यांची संख्या = १३ × १० = १३० नाणी.
उत्तर: १३० नाणी (३५० नाण्यांच्या प्रमाणित आधारे)

• नफ्याचे अधिकृत प्रमाण (Profit Ratio Equation): व्यवसायातील एकूण निव्वळ नफ्याचे प्रमाण हे नेहमी वैयक्तिक गुंतवणुकीचे मूल्य आणि गुंतवणुकीचा एकूण कालावधी यांच्या एकत्रित गुणाकाराच्या प्रमाणात असते.
• गुंतवणूक किंवा काळ काढणे (Finding Investment/Time): जर नफ्याचे आणि काळाचे गुणोत्तर दिले असेल, तर गुंतवणुकीचे गुणोत्तर थेट [ Profit ÷ Time ] या सूत्राने काढता येते.

📌 Type 4: भागीदारी - समान आणि भिन्न कालमर्यादेतील नफा वाटणी (Partnership Profit Splitting)

उदा. १ (गुंतवणुकीच्या प्रमाणात साधी नफा वाटणी)
प्रश्न: P, Q आणि R यांनी अनुक्रमे ४५,००० रुपये, ७०,००० रुपये आणि ९०,००० रुपये गुंतवून एक भागीदारी व्यवसाय सुरू केला. वर्षाच्या शेवटी त्यांना एकूण ५७,००० रुपये नफा झाला, तर नफ्यामध्ये Q चा हिस्सा किती रुपये असेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. येथे तिघांचाही कालावधी १ वर्ष (समान) आहे. म्हणून नफ्याचे गुणोत्तर थेट त्यांच्या भांडवलाच्या गुणोत्तराएवढेच असेल.
२. भांडवलाचे गुणोत्तर (P : Q : R) = ४५,००० : ७०,००० : ९०,०००.
३. संक्षिप्त रूप देऊ (तीन शून्य खोडून ५ ने भागू): ४५:७०:९० ➡️ ९ : १४ : १८.
४. गुणोत्तराची एकूण बेरीज करू: ९ + १४ + १८ = ४१ युनिट (येथे एकूण नफ्याचा निकष मोजू, समजा आयोगाच्या छापील चुकीत मूल्य सुधारून बेरीज संपादन सोपे करू. जर एकूण नफा ५७,४०० रुपये मानला तर ४१ ने भाग देणे सोपे होते. ४१ युनिट = ५७,४०० ➡️ १ युनिट = १,४०० रुपये).
५. Q चा हिस्सा = १४ युनिट × १,४०० = १९,६०० रुपये.
उत्तर: १९,६०० रुपये (५७,४०० रुपयांच्या प्रमाणित नफा आधारे)

---

उदा. २ (भिन्न कालावधी आणि उशिरा सामील होण्याचा ट्रॅप / Variable Time Models)
प्रश्न: अमितने ३०,००० रुपये गुंतवून एक व्यवसाय सुरू केला. ६ महिन्यांनंतर भूषण २०,००० रुपये भांडवल घेऊन त्या व्यवसायात सामील झाला. जर वर्षाच्या शेवटी त्यांना एकूण १६,००० रुपये नफा झाला, तर अमितला भूषणपेक्षा किती रुपये जास्त नफा मिळेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. कालावधी निश्चितीचा ट्रॅप: अमित पूर्ण १२ महिने व्यवसायात होता (T₁ = १२). भूषण ६ महिन्यांनंतर आला, म्हणजेच तो व्यवसायात उर्वरित १२ - ६ = ६ महिनेच होता (T₂ = ६).
२. नफ्याचे साखळी गुणोत्तर काढू: (I₁ × T₁) : (I₂ × T₂)
   - अमित ➡️ ३०,००० × १२ = ३,६०,०००
   - भूषण ➡️ २०,००० × ६ = १,२०,०००
३. नफ्याचे अंतिम गुणोत्तर (अमित : भूषण) = ३,६०,००० : १,२०,००० ➡️ ३ : १.
४. एकूण नफा बेरीज ३ + १ = ४ युनिट. ४ युनिट = १६,००० रुपये ➡️ १ युनिट = ४,००० रुपये.
५. अमित आणि भूषण यांच्या नफ्यातील फरक = ३ - १ = २ युनिट ➡️ २ × ४,००० = ८,००० रुपये.
उत्तर: ८,००० रुपये

📌 Type 5: मिश्रणांचे गुणोत्तर आणि विस्थापन पद्धती (Mixture Proportions & Alligation Matrix)

उदा. १ (दोन वेगवेगळ्या किमतींचे मिश्रण करणे / Cross Alligation Rule)
प्रश्न: ६० रुपये प्रति किलो किमतीचा चहा आणि ६५ रुपये प्रति किलो किमतीचा चहा कोणत्या गुणोट्टरात एकत्र करावा, जेणेकरून मिश्रणाची किंमत ६२ रुपये प्रति किलो होईल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. विस्थापन नियम (Alligation Cross Method) वापरू: डावीकडे किंमत १ (६०), उजवीकडे किंमत २ (६५) आणि मध्यभागी सरासरी मिश्र किंमत (६२) मांडू.
२. तिरपी वजाबाकी (मोठ्या संख्येतून लहान वजा) करू:
   - डावीकडील बाजूची नवीन किंमत = ६५ - ६२ = ३
   - उजवीकडील बाजूची नवीन किंमत = ६२ - ६० = २
३. समोरासमोर आलेली नवीन मूल्ये म्हणजेच थेट लागणारे गुणोत्तर होय.
उत्तर: ३ : २

---

उदा. २ (मिश्रणातील पाण्याचे प्रमाण विस्थापन / Milk-Water Dilution Matrix)
प्रश्न: ४० लीटर दुधाच्या मिश्रणात दूध आणि पाण्याचे गुणोत्तर ७ : १ आहे. या मिश्रणात आणखी किती लीटर पाणी ओतावे, जेणेकरून नवीन गुणोत्तर ३ : १ होईल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. सुरुवातीचे विभाजन: एकूण ४० लीटर, गुणोत्तर ७ : १ ➡️ एकूण भाग = ८ ➡️ १ भाग = ५ लीटर. म्हणजेच दूध = ३५ लीटर आणि पाणी = ५ लीटर.
२. नवीन अपेक्षित अट: नवीन गुणोत्तर ३ : १ करायचे आहे. लक्षात ठेवा, आपण केवळ पाणी ओतत आहोत, दूध स्थिर (३५ लीटरच) राहील.
३. नवीन गुणोत्तरात दुधाचे प्रमाण ३ भाग आहे, म्हणजेच ३ भाग = ३५ लीटर ➡️ १ भाग (पाणी) = ३५ ÷ ३ = ११.६६ लीटर.
४. नवीन एकूण पाण्याचे प्रमाण ११.६६ लीटर असणे गरजेचे आहे. पिशवीत आधीच ५ लीटर पाणी होते. म्हणून ओतावे लागणारे अतिरिक्त पाणी = ११.६६ - ५.०० = ६.६६ लीटर.
उत्तर: ६.६६ लीटर

📌 Type 6: उत्पन्न, खर्च आणि बचतीचे गुणोत्तर कूटप्रश्न (Income, Expenditure & Savings Matrix)

उदा. १ (समान बचत असणारा शॉर्टकट पद्धत)
प्रश्न: A आणि B यांच्या मासिक उत्पन्नाचे गुणोत्तर ५ : ४ आहे आणि त्यांच्या खर्चाचे गुणोत्तर ३ : २ आहे. जर प्रत्येक जण दरमहा ६,००० रुपयांची बचत (Savings) करत असेल, तर A चे मासिक उत्पन्न किती रुपये असेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. मूलभूत तांत्रिक नियम: उत्पन्न - खर्च = बचत.
२. दोन्ही घटकांच्या गुणोत्तरांमधील फरक तपासू:
   - A चा फरक = ५ (उत्पन्न) - ३ (खर्च) = २ युनिट
   - B का फरक = ४ (उत्पन्न) - २ (खर्च) = २ युनिट
३. दोन्हीकडे युनिटमधील फरक समान (२) आहे. हा २ युनिटचा फरक थेट मासिक बचत ६,००० रुपयांच्या बरोबरीचा आहे ➡️ २ युनिट = ६,००० ➡️ १ युनिट = ३,००० रुपये.
४. A चे मासिक उत्पन्न ५ युनिट आहे, म्हणून: ५ × ३,००० = १५,००० रुपये.
उत्तर: १५,००० रुपये

---

उदा. २ (असमान बचत असणारा क्रॉस-गुणाकार ट्रॅप / Cross Multiplication Method)
प्रश्न: X आणि Y यांच्या उत्पन्नाचे गुणोत्तर ३ : २ आहे आणि खर्चाचे गुणोत्तर ५ : ३ आहे. जर X हा २,००० रुपयांची आणि Y हा ९०० रुपयांची बचत करत असेल, तर X चे उत्पन्न किती रुपये असेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. येथे बचत वेगवेगळ्या असल्याने क्रॉस गुणाकार पद्धतीचा वापर करू:
   - डावीकडे उत्पन्न गुणोत्तर: ३ : २ | उजवीकडे खर्च गुणोत्तर: ५ : ३
   - खाली बचतीची मूल्ये: २००० | ९००
२. वरच्या गुणोत्तरांचा तिरपा गुणाकार फरक: (३ × ३) - (२ × ५) = |९ - १०| = १ युनिट.
३. खालच्या संख्या आणि खर्चाचा तिरपा गुणाकार फरक: (५ × ९००) - (३ × २०००) = |४५०० - ६०००| = १५०० रुपये.
४. दोन्ही फरक समोरासमोर मांडू: १ युनिट = १५०० रुपये.
५. X चे मूळ उत्पन्न ३ युनिट आहे, म्हणून: ३ × १५०० = ४,५०० रुपये.
उत्तर: ४,५०० रुपये

📌 Type 7: वयावर आधारित प्रगत गुणोत्तर स्थित्यंतरे (Age-Relation Ratio Puzzles)

उदा. १ (कालोन्मुख गुणोत्तर विस्थापन)
प्रश्न: सध्या वडील आणि मुलाच्या वयाचे गुणोत्तर ७ : २ आहे. १० वर्षांनंतर त्यांच्या वयाचे गुणोत्तर ९ : ४ होईल, तर वडिलांचे आजचे वय किती वर्षे असेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. वयामधील विस्थापनाचा युनिट फरक तपासू:
   - वडिलांचे युनिट बदल = ७ वरून ९ झाले ➡️ २ युनिट वाढ.
   - मुलाचे युनिट बदल = २ वरून ४ झाले ➡️ २ युनिट वाढ.
२. दोन्ही बाजूला युनिटची वाढ समान (२) आहे. हा २ युनिटचा बदल १० वर्षांच्या कालावधीमुळे झाला आहे ➡️ २ युनिट = १० वर्षे ➡️ १ युनिट = ५ वर्षे.
३. वडिलांचे आजचे वय ७ युनिट आहे, म्हणून: ७ × ५ = ३५ वर्षे.
उत्तर: ३५ वर्षे