Time and Work / काळ, काम आणि वेग

• 'काम सोडून जाणे' (Leaving After) विरुद्ध 'काम संपण्यापूर्वी जाणे' (Leaving Before) चा ट्रॅप: जर "X काम सुरू झाल्यापासून ३ दिवसांनी काम सोडून गेला", तर त्याचे ३ दिवसांचे काम एकूण कामातून वजा केले जाते. परंतु, जर "X काम संपण्याच्या ३ दिवस आधी काम सोडून गेला", तर त्याचे ३ दिवसांचे काल्पनिक काम एकूण कामात मिळवावे (Add) लागते. हा तांत्रिक फरक न समजल्यास उत्तर हमखास चुकते.
• 'कार्यक्षमता आणि वेळ' व्यस्त चलन संभ्रम: कार्यक्षमता (Efficiency) आणि लागणारा वेळ (Time) परस्परांच्या व्यस्त प्रमाणात असतात. जर A हा B पेक्षा दुप्पट वेगाने काम करत असेल, तर B ला A पेक्षा दुप्पट वेळ लागेल. गुणोत्तर मांडताना कार्यक्षमतेचे गुणोत्तर उलट करून वेळेचे गुणोत्तर काढावे लागते.
• 'मजुरीची वाटणी' (Wages Distribution Rules) चा ट्रॅप: कामाची मजुरी किंवा पैशांचे वाटप कधीही त्यांनी घेतलेल्या दिवसांच्या गुणोत्तरावर करू नये. मजुरी नेहमी त्यांनी केलेल्या प्रत्यक्ष कामावर किंवा त्यांच्या कार्यक्षमतेच्या (Efficiency) गुणोत्तरावरच वाटली पाहिजे.
• 'किंवा' (Or) आणि 'आणि' (And) शाब्दिक ट्रॅप: "४ पुरुष किंवा ६ महिला" याचा अर्थ ४ पुरुष = ६ महिला (कार्यक्षमता बरोबरी). "४ पुरुष आणि ६ महिला" याचा अर्थ दोघांच्या कार्यक्षमतेची एकत्रित बेरीज करावी लागते.

• १) एकत्रित वेळेचे सरळ सूत्र (2 People Together): (x × y) ÷ (x + y)
• २) साखळी नियम किंवा साखळी सूत्र (Chain Rule / MDH Formula):
   (येथे M = माणसे, D = दिवस, H = तास, W = केलेले काम / मजूर किंवा किंमत)
• ३) कार्यक्षमता व वेळ व्यस्त संबंध: वेळ₁ / वेळ₂ = कार्यक्षमता₂ / कार्यक्षमता₁

📌 Type 1: वैयक्तिक व एकत्रित कामाचे दिवस शोधणे (LCM Base Models)

उदा. १ (दोन व्यक्तींचे एकत्रित काम लसावि पद्धत)
प्रश्न: 'A' एक काम १० दिवसांत पूर्ण करतो आणि 'B' तेच काम १५ दिवसांत पूर्ण करतो. जर दोघांनी एकत्र काम सुरू केले, तर ते काम किती दिवसांत पूर्ण होईल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. १० आणि १५ चा लसावि (LCM) काढू = ३० युनिट (याला एकूण काम मानू).
२. दोघांची प्रति दिवस कार्यक्षमता (Efficiency) काढू:
   - A ची कार्यक्षमता = ३० ÷ १० = ३ युनिट/दिवस.
   - B ची कार्यक्षमता = ३० ÷ १५ = २ युनिट/दिवस.
३. दोघांची एकत्रित कार्यक्षमता = ३ + २ = ५ युनिट/दिवस.
४. एकत्रित लागणारे एकूण दिवस = एकूण काम ÷ एकत्रित कार्यक्षमता ➡️ ३० ÷ ५ = ६ दिवस.
उत्तर: ६ दिवस

---

उदा. २ (तीन व्यक्तींच्या साखळीचे सरलीकरण)
प्रश्न: A, B आणि C स्वतंत्रपणे एक काम अनुक्रमे १२, १५ आणि २० दिवसांत पूर्ण करू शकतात. तर ते तिघे मिळून ते काम किती दिवसांत संपवतील?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. १२, १५ आणि २० चा लसावि काढू = ६० युनिट (एकूण काम).
२. तिघांची वैयक्तिक प्रति दिवस कार्यक्षमता निश्चित करू:
   - A = ६० ÷ १२ = ५ युनिट | B = ६० ÷ १५ = ४ युनिट | C = ६० ÷ २० = ३ युनिट.
३. तिघांची एकत्रित प्रति दिवस कार्यक्षमता = ५ + ४ + ३ = १२ युनिट/दिवस.
४. एकूण लागणारे दिवस = ६० ÷ १२ = ५ दिवस.
उत्तर: ५ दिवस

• १) काम सुरू झाल्यावर काही दिवसांनी जाणे (Leaving After): जो व्यक्ती सुरुवातीला काही दिवस काम करून जातो, त्याचे काम एकूण कामातून वजा करावे ➡️ एकूण शिल्लक काम = एकूण काम - गेलेल्या व्यक्तीचे वैयक्तिक काम.
• २) काम संपण्याच्या काही दिवस आधी जाणे (Leaving Before): जो व्यक्ती काम संपण्यापूर्वी काही दिवस आधी काम सोडतो, त्याचे काल्पनिक काम एकूण कामात मिळवावे (Add) लागते आणि छेदस्थानी त्याला शेवटपर्यंत हजर मानावे लागते ➡️ काल्पनिक एकूण काम = मूळ एकूण काम + आधी जाणाऱ्याचे अतिरिक्त काम.

📌 Type 2: व्यक्ती काम अर्धवट सोडून जाणे किंवा नवीन सामील होणे (Work Interruption Models)

उदा. १ (काम सुरू झाल्यावर सोडून जाण्याचा पॅटर्न)
प्रश्न: A एक काम १० दिवसांत आणि B ते १५ दिवसांत पूर्ण करतो. दोघांनी एकत्र काम सुरू केले, परंतु काम सुरू झाल्यापासून २ दिवसांनी A काम सोडून निघून गेला. तर उर्वरित काम एकट्या B ला पूर्ण करण्यासाठी आणखी किती दिवस लागतील?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. लसावि पद्धतीने एकूण काम = ३० युनिट. कार्यक्षमता: A = ३ युनिट/दिवस, B = २ युनिट/दिवस.
२. दोघांचे १ दिवसाचे एकत्रित काम = ३ + २ = ५ युनिट/दिवस.
३. २ दिवसांत दोघांनी मिळून केलेले एकूण काम = २ × ५ = १० युनिट.
४. शिल्लक राहिलेले उर्वरित काम = ३० - १० = २० युनिट.
५. आता A निघून गेल्यामुळे हे २० युनिट काम केवळ B पूर्ण करेल ➡️ उर्वरित काळ = २० ÷ २ (B ची कार्यक्षमता) = १० दिवस.
उत्तर: १० दिवस (उर्वरित काम पूर्ण करण्यासाठी)

---

उदा. २ (काम संपण्यापूर्वी आधी सोडून जाण्याचा तांत्रिक ट्रॅप)
प्रश्न: X एक काम १२ दिवसांत आणि Y ते १८ दिवसांत संपवतो. दोघांनी एकत्र काम सुरू केले, परंतु काम संपण्याच्या ३ दिवस आधी X काम सोडून निघून गेला. तर ते काम एकूण किती दिवसांत पूर्ण झाले असेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. १२ आणि १८ चा लसावि = ३६ युनिट (एकूण काम). कार्यक्षमता: X = ३ युनिट/दिवस, Y = २ युनिट/दिवस.
२. मास्टर ट्रॅप नियम: X काम संपण्याच्या ३ दिवस आधी गेला, म्हणून त्याचे ३ दिवसांचे काल्पनिक काम एकूण कामात जोडू ➡️ X चे ३ दिवसांचे काम = ३ × ३ = ९ युनिट.
३. नवीन काल्पनिक एकूण काम = ३६ + ९ = ४५ युनिट.
४. आता छेदस्थानी दोघांची एकत्रित कार्यक्षमता घेऊ, कारण आपण X ला शेवटपर्यंत गृहीत धरले आहे ➡️ एकूण एकत्रित दिवस = ४५ ÷ (३ + २) = ४५ ÷ ५ = ९ दिवस.
उत्तर: ९ दिवस (एकूण लागलेला वेळ)

📌 Type 3: कार्यक्षमता गुणोत्तर आणि वेगाचे व्यस्त चलन विस्थापन (Efficiency & Inverse Time Scales)

उदा. १ (कार्यक्षमतेवरून वैयक्तिक दिवस काढणे)
प्रश्न: A ची कार्यक्षमता (Efficiency) B च्या दुप्पट (२ पट) आहे. जर B ला एक काम स्वतंत्रपणे पूर्ण करण्यासाठी २४ दिवस लागत असतील, तर तेच काम दोघांनी मिळून एकत्र केल्यास किती दिवस लागतील?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. कार्यक्षमतेचे गुणोत्तर (A : B) = २ : १.
२. व्यस्त चलन नियमानुसार, वेळेचे गुणोत्तर (A : B) = १ : २ होईल.
३. B ला २४ दिवस लागतात, म्हणजेच २ भाग = २४ दिवस ➡️ १ भाग (A चा वेळ) = १२ दिवस.
४. आता लसावि पद्धतीने एकूण काम शोधू: १२ आणि २४ चा लसावि = २४ युनिट. कार्यक्षमता: A = २, B = १.
५. एकत्रित वेळ = एकूण काम ÷ एकत्रित कार्यक्षमता ➡️ २४ ÷ (२ + १) = २४ ÷ ३ = ८ दिवस.
उत्तर: ८ दिवस

---

उदा. २ (टक्केवारी आधारित कार्यक्षमता विस्थापन)
प्रश्न: P हा Q पेक्षा ६०% अधिक कार्यक्षम आहे. जर Q एक काम स्वतंत्रपणे २० दिवसांत पूर्ण करत असेल, तर P ला तेच काम पूर्ण करण्यासाठी किती दिवस लागतील?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. कार्यक्षमतेचा बेस मांडू: समजा Q ची कार्यक्षमता = १००, तर P ६०% अधिक कार्यक्षम असल्याने P ची कार्यक्षमता = १६०.
२. कार्यक्षमतेचे गुणोत्तर (P : Q) = १६० : १०० ➡️ संक्षिप्त रूप = ८ : ५.
३. व्यस्त चलन नियमानुसार लागणाऱ्या वेळेचे गुणोत्तर (P : Q) = ५ : ८ ठरेल.
४. Q ला २० दिवस लागतात, म्हणजेच ८ भाग = २० दिवस ➡️ १ भाग = २० ÷ ८ = २.५ दिवस.
५. P ला लागणारे दिवस (५ भाग) = ५ × २.५ = १२.५ दिवस (किंवा १२ पूर्णांक १/२ दिवस).
उत्तर: १२.५ दिवस

• १) युनिव्हर्सिटी समीकरण (MDH System): गणितात जे घटक दिले नसतील (उदा. तास दिले नसतील), ते सूत्रातून गाळावेत व उरलेले समीकरण समोरासमोर मांडून सोडवावे ➡️ M₁D₁W₂ = M₂D₂W₁.
• २) मजुरी विभागणीचा सुवर्ण नियम (Wages Allocation Law): एकूण मजुरी (Wages) नेहमी वैयक्तिक कार्यक्षमतेच्या (Efficiency) थेट गुणोत्तरात किंवा त्यांनी केलेल्या प्रत्यक्ष कामाच्या हिश्शावरच वाटावी. दिवसांच्या गुणोत्तरावर पैसे वाटल्यास उत्तर पूर्णपणे चुकते.

📌 Type 4: साखळी नियम, अन्नाची रसद आणि कामाचे प्रमाण (Chain Rule & MDH Implementations)

उदा. १ (सैनिक छावणी आणि अन्नाची शिल्लक रसद / Garrison Problem)
प्रश्न: एका सैनिकांच्या छावणीत १२० सैनिकांसाठी ३० दिवसांची अन्नाची रसद उपलब्ध होती. ५ दिवसांनंतर छावणीत आणखी २० नवीन सैनिक सामील झाले, तर ती उर्वरित अन्नाची रसद सर्वांना पुढील किती दिवस पुरेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. उर्वरित दिवस मोजण्याचा नियम: ५ दिवस संपले आहेत, म्हणजेच जर नवीन सैनिक आले नसते, तर मूळ १२० सैनिकांना ते अन्न आणखी ३० - ५ = २५ दिवस पुरले असते. (M₁ = १२०, D₁ = २५).
२. आता २० नवीन सैनिक आले, म्हणून नवीन एकूण सैनिक संख्या M₂ = १२० + २० = १४० सैनिक. आपल्याला D₂ शोधायचा आहे.
३. साखळी सूत्र वापरू: M₁ × D₁ = M₂ × D₂ ➡️ १२० × २५ = १४० × D₂.
४. समीकरणाचे सरलीकरण करू: D₂ = (१२० × २५) ÷ १४० ➡️ D₂ = (१२ × २५) ÷ १४ = ३०० ÷ १४ = २१ पूर्णांक ३/७ दिवस.
उत्तर: २१ पूर्णांक ३/७ दिवस

---

उदा. २ (माणसे, दिवस आणि प्रत्यक्ष कामाचे विस्थापन)
प्रश्न: १५ मजूर दररोज ६ तास काम करून १ काम २४ दिवसांत पूर्ण करतात, तर तेच काम २० मजूर दररोज ८ तास काम करून किती दिवसांत पूर्ण करतील?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. येथे काम (W) समान आहे, म्हणून सूत्र वापरू: M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂.
२. दिलेल्या किमती मांडू: १५ × २४ × ६ = २० × D₂ × ८.
३. सरलीकरण करू: D₂ = (१५ × २४ × ६) ÷ (२० × ८).
४. गणना करू: ८ ने २४ ला ३ चा भाग जातो ➡️ D₂ = (१५ × ३ × ६) ÷ २० = २७० ÷ २० = १३.५ दिवस.
उत्तर: १३.५ दिवस (किंवा १३ पूर्णांक १/२ दिवस)

📌 Type 5: कार्यक्षमता आधारित मजुरीची तांत्रिक विभागणी (Work Wages Allocation)

उदा. १ (एकत्रित मजुरीचे कार्यक्षमतेवर आधारित वाटप)
प्रश्न: A एक काम ६ दिवसांत आणि B ते ८ दिवसांत संपवू शकतो. दोघांनी एकत्र काम करून ते पूर्ण केले आणि त्यांना एकूण ३,५०० रुपये मजुरी मिळाली, तर त्या मजुरीमध्ये A चा वाटा किती रुपये असेल?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. दिवसांचे गुणोत्तर (A : B) = ६ : ८ ➡️ ३ : ४.
२. मास्टर नियम: मजुरी दिवसांच्या व्यस्त म्हणजेच कार्यक्षमतेच्या गुणोत्तरात वाटली जाईल ➡️ कार्यक्षमतेचे गुणोत्तर (A : B) = ४ : ३.
३. गुणोत्तराची एकूण बेरीज करू: ४ + ३ = ७ युनिट.
४. ७ युनिट मजुरी ३,५०० रुपयांच्या बरोबरीची आहे ➡️ १ युनिट = ३,५०० ÷ ७ = ५०० रुपये.
५. A का वाटा ४ युनिट आहे, म्हणून: ४ × ५०० = २,००० रुपये.
उत्तर: २,००० रुपये

📌 Type 6: 'किंवा' आणि 'आणि' संबंधांचे प्रगत मिश्र गट (Men, Women & Children Hybrid Models)

उदा. १ (पुरुष किंवा महिला कार्यक्षमता समीकरण / 'Or' to 'And' Conversion)
प्रश्न: ४ पुरुष किंवा ६ महिला एक काम २० दिवसांत पूर्ण करू शकतात. तर तेच काम ६ पुरुष आणि ११ महिला एकत्र मिळून किती दिवसांत पूर्ण करतील?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. कार्यक्षमता बरोबरी नियम: ४ पुरुष = ६ महिला ➡️ २ पुरुष = ३ महिला ➡️ १ पुरुष = ३/२ महिला.
२. आता विचारलेले गट (६ पुरुष + ११ महिला) पूर्णपणे महिलांच्या रूपात बदलू:
   - ६ पुरुष = ६ × (३/२) महिला = ९ महिला.
   - एकूण महिला गट = ९ महिला + ११ महिला = २० महिला.
३. आता साधी साखळी मांडणी करू (M₁ = ६ महिला, D₁ = २० दिवस, M₂ = २० महिला, D₂ = ?):
   - ६ × २० = २० × D₂ ➡️ D₂ = (६ × २०) ÷ २० = ६ दिवस.
उत्तर: ६ दिवस

---

उदा. २ (पुरुष आणि मुलांचे संकरित समीकरण / Complex Grouping)
प्रश्न: २ पुरुष आणि ३ मुले एक काम १० दिवसांत पूर्ण करतात, तर ३ पुरुष आणि २ मुले तेच काम ८ दिवसांत पूर्ण करतात. तर २ पुरुष आणि १ मुलगा ते काम किती दिवसांत संपवतील?

तांत्रिक विश्लेषण व उकल:
१. माणसांची कार्यक्षमता गुणोत्तर काढण्यासाठी समीकरण मांडू: १० × (२M + ३B) = ८ × (३M + २B).
२. कंसाचा गुणाकार करू: २०M + ३०B = २४M + १६B ➡️ २४M - २०M = ३०B - १६B ➡️ ४M = १४B ➡️ २M = ७B (२ पुरुष = ७ मुले).
३. संपूर्ण समीकरण मुलांना (Boys) मूळ पाया मानून बदलू:
   - पहिली अट ➡️ २M + ३B = ७B + ३B = १० मुले (१० मुले काम १० दिवसांत करतात).
   - विचारलेली अट ➡️ २M + १B = ७B + १B = ८ मुले.
४. साखळी सूत्र लावू: १० मुले × १० दिवस = ८ मुले × D₂ ➡️ १०० = ८ × D₂ ➡️ D₂ = १०० ÷ ८ = १२.५ दिवस.
उत्तर: १२.५ दिवस